Pemanfaatan Induksi Matematika dalam Pembuatan ATM Multinominal

  Abad ke-21 teknologi mulai berkembang dalam kehidupan manusia, mulai dari komunikasi, sistem pemerintah, bahkan semua aktivitas memanfaatkan perkembangan teknologi. Dalam kehidupan sehari-hari, kita pasti sudah tidak asing lagi dengan kata ATM. Setiap kita melihat iklan perbankan di televisi, atau saat melewati sebuah bank di jalan, bahkan saat berada di tempat-tempat umum seperti mall, bandara, dan kampus tak jarang ditemukan keberadaan ATM. Sebenarnya, apa sih yang dimaksud dengan ATM itu? ATM (Automated Teller Machine) ialah sebuah perangkat elektronik berbasis komputer yang sudah sangat tidak asing lagi bagi kita. Mesin yang juga dikenal dengan nama Anjungan Tunai Mandiri ini dapat membantu kita bertransaksi tanpa harus mengantri di bank. Transaksi yang dapat dilakukan salah satu diantaranya adalah penarikan uang. Sebenarnya bagaimana sih cara kerja mesin ATM? Bagaimana bisa mesin tersebut melakukan transaksi sesuai yang kita tentukan dengan tepat? Yuukk kita bahas bareng-bareng disini.

  Sejatinya prinsip dan sistem kerja mesin ATM sangatlah mudah yaitu dengan menerapkan prinsip Induksi Matematik yang diubah dahulu ke suatu bahasa pemrograman kemudian diimplementasikan ke perangkat keras yang terdapat di dalam ATM tersebut. Induksi matematika merupakan salah satu metode atau cara pembuktian di dalam ilmu matematika untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Pada kesempatan ini kita hanya akan membahas konsep pemikiran dari perhitungan ATM yang memiliki multinominal uang. Pada umumnya mesin ATM hanya memiliki satu jenis nominal uang. Logikanya adalah sebuah ATM hanya memiliki satu cartridge uang, yang hanya dapat diisi oleh sebuah nominal (entah itu Rp 20.000,-, Rp 50.000,-, maupun Rp 100.000,-). Nah, pengolahan berapa jumlah uang yang dikeluarkan tidak secara langsung dihitung dari jumlah nominal uang yang ditarik, tapi ditambahkan terlebih dahulu, pecahan uang yang tersedia pada cartridge harus dikeluarkan sebanyak berapa lembar agar uang yang ingin ditarik pelanggan tercukupi. Misal pelanggan ingin menarik uang sebanyak Rp 100.000,-. maka akan ada 3 kemungkinan, jika ATM berisi pecahan uang 20.000 maka cartridge penyimpan uang akan dirancang dan dikeluarkan sebanyak 5 lembar. Jika ATM berisi pecahan uang 50.000 maka cartridge penyimpan uang akan dirancang dan dikeluarkan sebanyak 2 lembar. Dan jika ATM berisi pecahan uang 100.000 maka cartridge penyimpan uang akan dirancang dan dikeluarkan sebanyak 1 lembar.

  Induksi matematik marupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika. Melalui Induksi Matematis, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan sebuah pernyataan kebenaran matematis hanya dengan beberapa langkah terbatas yang cukup mudah. Prinsip Induksi matematik memiliki efek domino (jika domino disusun berjajar dengan jarak tertentu, saat satu ujung domino dilepaskan ke arah donimo lain, maka semua domino akan jatuh satu per satu). Pada umumnya, terdapat dua jenis Induksi Matematik yakni Prisip Induksi yang dirampatkan dan Prisip Induksi Kuat.

    1. Prinsip Induksi yang dirampatkan: Misal f(n) ialah sebuah pernyataan atau fungsi yang ingin kita buktikan berlaku untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Untuk membuktikan ini, hanya perlu ditunjukkan bahwa :
    1. f(n0) benar (berlaku), dan
    2. Jika f(n) benar (berlaku) maka f(n+1) juga benar (berlaku) untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
    2. Prisip Induksi kuat: Misal : f(n) adalah sebuah pernyataan yang akan dibuktikan berlaku untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Untuk membuktikannya, perlu ditunjukkan bahwa :
    1. f(n0) benar (berlaku), dan
    2. Jika f(n0), f(n0+1), …, f(n) benar (berlaku), maka f(n+1) juga benar (berlaku) untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.

Lalu Bagaimana Induksi Matematika Dapat Diterapkan pada ATM Multi Nominal?

  Penerapan Induksi Matematik dalam ATM Multi Nominal yakni dengan penggunaan Prinsip Induksi yang Dirampatkan (prinsip pertama) pada proses penghitungan uang yang akan dikeluarkan dari penyimpanan uang penyimpanan. Ada beberapa ketentuan dalam pengambilan uang pada ATM Multi Nominal ini. Ketentuan tersebut antara lain :

    – Jumlah penarikan minimal
    – Jumlah kelipatan penarikan dari jumlah minimalnya
    – Pecahan uang berapa saja yang terdapat dalam ATM tersebut.

Kita ambil sebuah contoh, dalam satu ATM terdapat pecahan uang Rp 20.000,- dan Rp 50.000,-. Berapakah jumlah kelipatan penarikan dengan jumlah minimal yang dapat diambil pelanggan melalui ATM tersebut adalah Rp 40.000,-?

Penyelesaian :

    1. bahwa f(n0) benar (berlaku)
    Dasar induksi. Untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000,- dapat digunakan 2 lembar uang Rp 20.000,-.
    f(n0) jelas benar (berlaku)!!
    2. Jika f(n) benar (berlaku) maka tunjukkan f(n+k) juga benar (berlaku) untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. (k ialah kelipatan pengambilan uang di ATM)

Langkah induksi. Jika f(n) benar, yaitu untuk mengeluarkan uang dengan jumlah Rp 40.000 dapat digunakan lembar uang Rp 20.000,- (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa f(n+k) juga benar, yaitu untuk mengeluarkan uang sebesar n+k juga dapat menggunakan pecahan uang Rp 20.000,- dan/atau Rp 50.000,-.

    Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa:

      Kemungkinan pertama, misalkan tidak ada uang pecahan Rp 50.000,- yang dikeluarkan, maka uang yang dikeluarkan senilai Rp n,- menggunakan pecahan Rp 20.000,- semuanya. Karena n ≥ Rp 40.000,-, paling tidak harus digunakan dua lembar pecahan Rp 20.000,-. Dengan mengganti dua lembar uang Rp 20.000,- dengan selembar uang Rp 50.000, akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-.
      Kemungkinan kedua, misalkan ATM mengeluarkan uang senilai Rp n,- dengan sedikitnya satu lembar pecahan Rp 50.000,-. Dengan mengganti satu lembar pecahan Rp 50.000,- dengan tiga lembar uang pecahan Rp 20.000,-, akan menjadikan uang yang dikeluarkan ATM sebesar Rp n+k,- dengan k senilai Rp 10.000,-

  Dari penjelasan di atas, dapat diketahui bahwa nilai k (kelipatan) uang yang dapat diambil dari ATM tersebut, dengan jumlah minimal pengambilan sebesar Rp 40.000,-, yaitu sebesar Rp 10.000,-. Jadi kira-kira seperti itulah konsep pemikiran ATM yang memiliki dua jenis pecahan uang. Mudah bukan? Hanya saja untuk implementasi pada mesin penghitungnya, harus diubah terlebih dahulu dalam suatu bahasa pemrograman baru diterapkan pada hardware yang ada di ATM.

SUMBER :
https://oci-engg87.blog.unsoed.ac.id/2010/09/21/penerapan-induksi-matematik-dalam-atm-multi-pecahan-uang/

____________________________________________________________
KEMENTERIAN MEDINFO
KABINET RAKSABHINAYA
BEMF MIPA UNEJ 2022